2023-06-06
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
今日は「分数の計算」の最後となる、「部分分数分解」について書いていきます。この単元は、本来ならば高２で学習する「数Ｂ」の数列の範囲に含まれる内容なのですが、中学入試では「計算の工夫」の一部として頻出単元に含まれます。
基本パターンは誘導部分なしに出題され、応用パターンは誘導部分から類推して計算を工夫する問題となっています。中学受験生にとっては「知識として知らないと解けない分野」になるため、しっかりと解き方を覚えておきましょう。
部分分数分解の基本パターン
パターン①：分母が連続する２整数の積である場合（分母に積の表記がある場合）
パターン①の応用：分母が連続する２整数の積である場合（分母に積の表記がない場合）
パターン②：分母が連続する３整数の積である場合（分母に積の表記があり、分子が１の場合）
パターン②の応用：分母が連続する３整数の積である場合（分母に積の表記があり、分子が１以外の整数の場合）
パターン③：分母が等差の２整数の積である場合
パターン④：分母が等差の３整数の積である場合
このように、難解な内容ですがしっかり覚えておきましょう。というわけで、今日はここまでにします。
2023-05-17
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
前回は「循環小数と分数」の関係についてでしたが、その中で「分数の計算」には３種類の難問があると書いたのを覚えているでしょうか。今回はその中のひとつ「繁分数（はんぶんすう）」の計算について書いてみたいと思います。繁分数の計算は、分数の基本的な計算概念に基づけば難しいものではありませんから、はじめて見たときにはどうやって解いたらいいのか戸惑いますが、きちんとできるようにしましょう。
例を挙げて説明しましょう。繁分数というのは、分母や分子が分数であるような分数のことですから
のような分数です。分数の基本は分子÷分母ですから、上の問題は、
１÷（１＋２分の１）＝１÷２分の３＝１×３分の２＝３分の２
が答えになります。ですから、
のような問題では、
３÷（１＋１÷□）＝２．５
という問題を解くのと同じなわけです。では、次のような問題はどうやって解くのでしょう。
Ａ〜Ｄにあてはまる整数を答えなさい。
（早大学院高）
２６を７で割ると３あまり５ですから、
になりますよね。ですから、Ａは３になります。そしてＢは１．４の整数部分にあたる１になるわけです。 さらにこれを続けて解いていくと、Ａ＝３、Ｂ＝１、Ｃ＝２、Ｄ＝２となります。「分数の計算」についての話も次回が最後になります。もう少しですから頑張りましょう。というわけで、今日はここまで。
2023-04-25
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
今日は「分数の計算」の中でも、３種類の難問のうちの１つにあたる、「循環小数と分数」の関係について書いてみたいと思います。これは、本来は高１で学習する数Ⅰで習う内容なのですが、難関中学や難関高校の入試問題では、問題の最初に誘導部分をつけて出題される分野であり、難関中学を目指す小学生は理解しておくべき単元です。
さて、算数編その９で書いたように、小数はすべて分数で表すことが可能です。小数の中でも、０．１１１１・・・・・や０．３３３３・・・・や０．１２３１２３１２３・・・・のように同じ数字が繰り返しあらわれる数を循環小数と呼ぶのですが、これらの小数を分数に表すにはどうすれば良いのでしょう。
まず、循環小数の基本について学びましょう。
０．１１１１・・・・・という数は、
のように書き表し、
９分の１になります。つまり、
１を９で割っていくと０．１１１１・・・・・となりますよね。同様に、
０．０１０１０１・・・・・という数は
のように書き表し、
９９分の1になります。
１を９９で割ると０．０１０１・・・・・になるでしょ。これらをまとめると、
となります。そこで、これらの基本となる数をもとにして考えると、
のようになります。したがって、
のようにちょっと複雑な循環小数であっても分数に直すことができます。では、０．０１１１・・・・・はどうすれば良いのでしょう。
とやはり分数にすることができます。というわけで、「循環小数と分数」の関係について理解できたでしょうか。それでは、今日はここまでにしましょう。
2023-03-28
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
やっと公約数や公倍数の基本的な部分が終わったので、これから「分数の計算」について書いていきたいと思います。
そこで、「まず分数とは何か？」という基本から始めたいと思います。一言で言えば、「分数とは分子を分母で割った数」のことです。
小学校に入ってまず最初に習うのが整数ですよね。次に習うのが小数です。そして最後に習うのが分数なのですが、これら３種類の数を難しい言葉で「有理数（ゆうりすう）」と呼びます。有理数の反対語は、「有」の字を「有」の否定語である「無」に変えた、「無理数（むりすう）」になります。
小学生の皆さんには、「無理数」というのはあまりなじみの無い言葉かもしれませんが、円周率や平方根などが無理数にあたります。円周率が３．１４１５９２６５３５８９７９３・・・と無限に続く数であるということは聞いたことがあるでしょう？実は、無理数というのは「分数で表すことができない数」のことなのです。つまり無理数というのは、「分子を分母で割ることが無理な数」のことです。
したがって、有理数というのは「分子を分母で割ることができる数」のことですから、整数や小数は必ず分数で表すことができるのです。ところが３分の１という数を小数で表すと、０．３３３３３３３・・・・・となってしまいますし、９分の１は０．１１１１１１・・・・・、３７分の２１は０．５６７５６７５６７・・・・・となってしまい、分数は必ずしも小数で表せませんよね。だから分数は便利なのです。
というわけで、基本的な計算問題は小数を分数に直して計算するのが望ましいのです。
例を挙げて説明しましょう。
（０．７５÷０．２＋０．３７５―６分の１＋０．６２５×０．５）×１５分の４を計算しなさいという問題では、
０．７５を４分の３
０．２を５分の１
０．３７５を８分の３
０．６２５を８分の５
０．５を２分の１
に変えて計算するわけです。したがって、良く出る小数はすぐに分数に変換できるように暗記しておくべきです。
では暗記しておくべき小数はというと、
０．５＝２分の１
０．２＝５分の１
０．４＝５分の２
０．６＝５分の３
０．８＝５分の４
０．２５＝４分の１
０．７５＝４分の３
０．１２５＝８分の１
０．３７５＝８分の３
０．６２５＝８分の５
０．８７５＝８分の７
上に挙げた１１個だけ覚えておけば、計算の早業ができますので、しっかり覚えておきましょう。それでは、今日はこのへんで終わりにしましょう。
（計算の答えは１と３６分の５です）
2023-03-07
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
今日は「分数の計算」に入る前の最後の確認事項として、整数どうしの最小公倍数や最大公約数を見つけるための基本法である、「連除法」について書いてみたいと思います。
①２つの整数の最大公約数、最小公倍数の見つけ方
たとえば、９６と１５６の最大公約数と最小公倍数を見つけるには、９６と１５６の両方を割ることのできる整数で次々に割っていきます。
となり、８と１３は１以外の約数を持ちません（互いに素と呼びます）から、もう割れませんね。
このとき、９６と１５６を割った数の２と２と３をかけた数、すなわち１２が９６と１５６の最大公約数になります。また、最大公約数の１２に８と１３をかけた数、すなわち１２４８が９６と１５６の最小公倍数になります。ここまでは、「そんなの、わかっているよ」というところですよね。では、３つの整数ではどうでしょうか。９６と１４４と１５６の３つの整数の最大公約数と最小公倍数を同じように求めてみましょう。
②３つの整数の最大公約数、最小公倍数の見つけ方
さて、この時点で８と１２と１３は互いに素（１以外に約数を持たない）になりましたから、やはり最大公約数は２×２×３＝１２です。では最小公倍数は、１２×８×１２×１３＝１４９７６なのでしょうか。違いますよね。３つ以上の整数の最小公倍数を求めるときには、さらに割る必要があるんでしたよね。つまり、
まで割って、２×２×３×２×２×２×３×１３＝３７４４が９６と１４４と１５６の最小公倍数です。もちろん、最大公約数は２×２×３×２×２＝４８ではなく、上で求めたように１２ですよ。
このように、２つの整数の最大公約数・最小公倍数の連除法と３つ以上の整数の最大公約数・最小公倍数の連除法は、すこし違うことに注意しましょう。これを同じようにやってしまって間違える生徒は多いですからね。それでは、続きはまた。
2023-02-14
カテゴリー：中学入試に役立つ学習法：算数編
今日は約数の個数について書いていきます。前回は「エラトステネスの篩（ふるい）と素数」について書いたわけですが、すべての整数は素数の積で書き表すことができます。そして、整数を素数の積で表すことを「素因数分解」と呼びます。この素因数分解はとても大事な概念であり、昔は小学校で習い、少し前は中１で、今では中３の最初に習います。
ということは、小学生は分数の通分や約分を「何となく」やっているわけです。ですから小学校では、答えを既約分数（それ以上約分できない分数）で答えなくてもマルなのです。「えっ、そうだったの」と思われる方も多いと思いますが、それが日本の標準的な教育であるということを親が認識しておかないと、子どもとしては理不尽に注意された気になりますから注意してください。ただし分数の約分や通分を学習するのは、小学校では６年生になってからですから・・・・・普通に小学校の進度で勉強していたら中学入試には間に合わないわけで・・・・・だから中学受験的には４年生の２学期には分数の計算をできるようにしてしまうわけです。
というわけで、今日の本題である約数の個数の話に行きましょう。
（３）「約数の個数」について
「４８の約数の個数は何個ですか」という問題を解くと、４８という整数は
１×４８
２×２４
３×１６
４×１２
６×８
のように表すことができますから、４８の約数は、１，２，３，４，６，８，１２，１６，２４，４８の１０個です。このぐらいの大きさの数ならば、このように書いていったほうが間違えませんよね。
じゃあ「３０２４の約数の個数は何個ですか」という問題を同じように解くと、
１×３０２４
２×１５１２
３×１００８
４×７５６
６×５０４
７×４３２
８×３７８
９×３３６
・
・
・
もうやめましょう・・・・・時間と行数ばかりかかります。う〜ん、一発で出す方法はないかなあ、となりますね。実はあるんです。
３０２４を素因数分解すると、２×２×２×２×３×３×３×７ですから、２を４個、３を３個、７を１個かけた数ですよね。ですから、３０２４の約数の個数は
（４個＋１）×（３個＋１）×（１個＋１）＝５×４×２＝４０個
このやり方は高校数学では定番なのですが、中学入試でも上位難関校では出題されることがあります。きちんとした理屈は「式の展開」という方法を習ってからでないとわからないのですが、覚えておいて損はない方法です。この方法を４８にあてはめて解いてみると、４８＝２×２×２×２×３ですから、２を４個、３を１個かけた数なので、４８の約数の個数は、
（４個＋１）×（１個＋１）＝５×２＝１０個
数え上げなくても約数の個数がわかります。というわけで、難しい話になりましたが、難関中学受験生は覚えておいてください。では、今日はこの辺で。
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